Ну, прежде всего нужно сказать, что мы имеем дело с японскими оригиналами. Где имеются японские термины, которые разными людьми переводятся на английский по их собственному разумению и знанию японского.
Второе, эти термины берутся из аниме титров, оригинальных аниме сайтов конкретного тайтла, аниме БД, интервью и вообще непонятно откуда. В каждом конкретном случае конкретный источник мог подразумевать что-то свое.
Третье, в самой японской индустрии не существует стандартной терминологии.

Так что самый первый вывод - нужно смотреть по контексту и знанию предмета. Как бы кто-то кого-то не назвал, мы часто знаем, что происходило в реальности и что имелось в виду под конкретным словом.

Теперь то, что касается конкретных терминов.
"Story" обычно означает распределение ролей при создании оригинала, где часто имеется автор истории и текстов и другой человек, который занимается графической частью.
Script обычно относится к адаптациям, это человек, который пишет тексты персонажей и/или сюжет именно в том виде, в котором они будут в адаптации.
Storyboard - это раскадровка. Почитайте статью в Вики.
Screenplay редко используется в аниме, обычно только теми людьми, которые лучше знакомы с игровой кинематографией, где это слово примерно означает то же самое, что и Script в аниме.